Calcul d’engrenage avec excel

Le calcul d’engrenage avec Excel permet de passer très rapidement d’une idée de transmission à un jeu de pignons dimensionnés, vérifiés et prêts à être modélisés en CAO. Au lieu de manipuler des formules éparses, vous centralisez le dimensionnement géométrique, cinématique et partiellement mécanique dans un classeur que vous pouvez adapter à chaque nouveau projet. Pour un motoréducteur, une machine CNC, un vélo ou un robot, disposer d’un tableur fiable évite de nombreux essais-erreurs et réduit fortement le risque d’incompatibilité entre engrenages. Le calcul devient répétable, traçable et facilement partageable entre conception, industrialisation et atelier.

Les normes modernes comme l’ISO 21771 ou les séries de modules DIN ont précisément pour objectif de standardiser profils, pas et angles de pression. Excel offre un environnement suffisamment souple pour intégrer ces règles, vérifier les conditions d’engrènement et même optimiser automatiquement le nombre de dents pour atteindre un rapport de réduction cible. Avec quelques bonnes pratiques de structuration de feuilles, de validation des données et, si besoin, un peu de VBA, vous disposez d’un véritable « laboratoire numérique » d’engrenages, sans investir dans un logiciel spécialisé coûteux.

Notions de base du calcul d’engrenage avant modélisation sous excel

Rappel des paramètres géométriques d’un engrenage selon la norme ISO 21771

Avant de construire un modèle Excel de calcul d’engrenage, un rappel des grandeurs normalisées est indispensable. La norme ISO 21771 définit notamment le diamètre primitif d, le module m, le nombre de dents z, l’angle de pression α (souvent 20°), ainsi que les diamètres de tête da et de pied df. Le cercle primitif représente la « zone de roulement » théorique, où l’engrènement équivaut à un roulement sans glissement entre deux cylindres. Autour de ce cercle se définissent l’addendum (hauteur de tête), le dédentement (hauteur de pied) et la hauteur totale de dent.

Les hauteurs et jeux sont généralement exprimés comme multiples du module : ha ≈ 1·m pour la saillie et hf ≈ 1,25·m pour le creux, ce qui donne une hauteur totale de dent h ≈ 2,25·m. Ces valeurs correspondent aux profils de denture en développante standard. À partir de ces paramètres de base, Excel peut calculer automatiquement les diamètres réels, les périmètres, mais aussi les conditions d’engrènement telles que le jeu radial minimal entre deux engrenages internes / externes.

Module, nombre de dents, rapport de transmission : définitions et formules clefs

Le module m est la grandeur pivot du calcul d’engrenage normalisé. Il relie directement diamètre primitif et nombre de dents via la relation simple : d = m × z. Plus le module est élevé, plus les dents sont grosses et capables de transmettre un couple important, mais l’encombrement augmente. Le pas primitif sur le cercle de référence vaut p = π × m, ce qui simplifie le dessin ou la génération automatique du profil de dent sous CAO. Le nombre de dents z, combiné au module, fixe donc en une seule formule le diamètre nominal du pignon.

Le rapport de transmission d’un train simple pignon/roue se définit par i = z₂ / z₁ = n₁ / n₂, avec z₁ et z₂ les nombres de dents et n₁, n₂ les vitesses de rotation. Dans un classeur Excel d’engrenages, une cellule peut contenir la formule du rapport de réduction et une autre son inverse (rapport de multiplication). Cette approche permet, par simple changement de z₁ ou z₂, de tester rapidement plusieurs configurations tout en respectant les modules normalisés et les limites de couple du motoréducteur.

Lien entre diamètre primitif, diamètre de tête, diamètre de pied et entraxe

Pour un engrènement externe standard sans déport, le diamètre de tête se calcule généralement par da = d + 2·m, tandis que le diamètre de pied vaut df = d − 2,5·m. Ces relations figurent dans de nombreux documents de dimensionnement d’engrenages et se retrouvent directement dans un tableur sous forme de formules simples. Le diamètre de base, utilisé pour définir la développante de cercle, se déduit du diamètre primitif par db = d × cos(α). Ce dernier intervient notamment si vous utilisez Excel pour générer les coordonnées d’une développante et les importer ensuite en spline dans un logiciel comme Fusion 360.

L’entraxe entre deux roues dentées droites de même module correspond à la demi-somme de leurs diamètres primitifs : a = (d₁ + d₂) / 2. En remplaçant d₁ et d₂ par m·z₁ et m·z₂, l’entraxe devient a = m × (z₁ + z₂) / 2. Dans un calcul d’engrenage avec Excel, cette formule se traduit par une seule cellule dépendant du module et du nombre de dents des deux roues. C’est un indicateur immédiat de compatibilité avec un entraxe imposé par un châssis existant ou par une distance entre axes de moteurs sur une machine CNC.

Choix entre dentures droites, hélicoïdales et coniques pour le modèle excel

Le type de denture influe fortement sur les équations à mettre dans votre feuille de calcul d’engrenage. La denture droite, strictement cylindrique, reste la plus simple à traiter sous Excel : seul le module normal et l’angle de pression standard sont pris en compte. Pour une denture hélicoïdale, les relations géométriques introduisent l’angle d’hélice, ce qui impose de manipuler à la fois le module normal et le module transverse. Les efforts axiaux apparaissent, ce qui peut nécessiter un calcul complémentaire de charges radiales et axiales sur les paliers.

Les engrenages coniques et les engrenages coniques hélicoïdaux amènent encore d’autres paramètres : cône primitif, angle de tête, largeur de denture le long de la génératrice. Dans un premier temps, un tableur peut se concentrer sur les dentures droites et hélicoïdales, puis intégrer progressivement des lignes de calcul spécifiques aux engrenages coniques pour un arbre à 90°. L’important est de garder une structure claire dans votre classeur Excel afin que chaque type d’engrenage ait son bloc dédié de formules et de paramètres.

Préparer un classeur excel pour le calcul d’engrenages normalisés (ISO, DIN)

Structurer les feuilles excel : données d’entrée, formules de calcul, résultats

Un bon classeur de calcul d’engrenage commence par une structure claire. Une première feuille peut être dédiée aux données d’entrée : module, nombre de dents, type de denture, angle de pression, vitesse moteur, couple disponible. Une seconde feuille peut concentrer les formules de calcul et les relations tirées des normes ISO et DIN, tandis qu’une troisième feuille présente les résultats synthétiques : diamètres, entraxes, rapports de réduction et couples transmis. Ce découpage améliore considérablement la lisibilité, surtout lorsque le classeur sert à plusieurs projets.

La logique ressemble à celle d’un petit logiciel spécialisé : la feuille d’entrée joue le rôle d’interface utilisateur, les feuilles de calcul masquées ou protégées contiennent l’algorithme, et la feuille de synthèse offre un rapport prêt à être archivé dans le dossier technique. Pour des projets complexes (machines-outils, lignes de convoyage), une feuille par axe ou par étage de réduction facilite la maintenance du classeur, tout en évitant les liens croisés difficiles à suivre.

Paramétrage des unités et des constantes (module, pas, angle de pression 20°)

Le calcul d’engrenage avec Excel repose sur des constantes géométriques et matérielles qu’il est utile de rassembler au même endroit. Une petite table peut regrouper le π personnalisé si besoin, l’angle de pression standard α = 20°, voire des valeurs alternatives comme 25° utilisées dans certains standards anglo-saxons. Les unités doivent rester homogènes : si le module est en millimètres, tous les diamètres et entraxes seront exprimés en millimètres, les couples en N·m ou kg·cm, mais sans mélange dans la même colonne.

Une bonne pratique consiste à réserver une zone de la feuille d’entrée aux paramètres globaux du projet : facteur de sécurité, rendement mécanique estimé, densité de matériau pour estimer la masse d’un pignon de grand diamètre, etc. Ces paramètres alimentent ensuite les formules de calcul de puissance et de couple. Selon plusieurs études industrielles, plus de 60 % des erreurs en calcul de transmission proviennent d’incohérences d’unités ; centraliser ces éléments dans Excel réduit nettement ce risque.

Création de listes déroulantes pour les modules normalisés (séries ISO, DIN 780)

Les modules sont normalisés par des séries (par exemple 0,5 – 0,6 – 0,8 – 1 – 1,25 – 1,5 – 2 – 2,5 – 3 – 4 – 5 – 6…). Dans Excel, une liste de ces valeurs peut être créée dans une zone dédiée, puis utilisée comme source d’une liste déroulante via la fonctionnalité de validation des données. Ainsi, lorsque vous choisissez un module pour un nouvel engrenage, le risque d’erreur de saisie est quasi nul, et le modèle reste compatible avec les engrenages catalogues ou de série.

Pour un tableur multi-normes, plusieurs listes déroulantes peuvent coexister : une pour la série ISO métrique, une autre pour une série impériale, voire une série spécifique à un fournisseur d’engrenages. Un simple menu de sélection de la norme peut ensuite conditionner, par des formules INDEX ou DECALER, la liste de modules visibles. Cette approche paramétrique permet de réutiliser le même classeur quel que soit le standard choisi au niveau du projet.

Protection des cellules, mise en forme conditionnelle et validation des données

Un modèle d’engrenage sous Excel gagne en robustesse lorsque les cellules de formule sont protégées et que seules les cellules d’entrée restent modifiables. La validation des données offre un contrôle supplémentaire : plage acceptable de modules, nombre de dents minimum (souvent au moins 12 pour limiter les interférences), rapport de réduction maximal. Des messages d’erreur personnalisés peuvent guider l’utilisateur si une valeur hors tolérance est saisie.

La mise en forme conditionnelle peut mettre en évidence plusieurs situations critiques de calcul d’engrenage, par exemple une contrainte de flexion des dents dépassant une valeur limite ou un entraxe incompatible avec la géométrie de la machine. Des seuils de couleur (vert, orange, rouge) rendent la lecture immédiate, même pour un lecteur qui ne maîtrise pas tous les détails de la norme ISO. Dans un contexte de bureau d’études, ce type de signal visuel évite de nombreuses itérations entre concepteur et responsable technique.

Implémenter les formules de calcul d’engrenage dans excel pas à pas

Calcul automatique du diamètre primitif, d, à partir du module m et du nombre de dents z

La première formule clé à implémenter dans un classeur de calcul d’engrenage reste d = m × z. En pratique, une cellule contiendra le module choisi via une liste déroulante, une autre le nombre de dents, et une troisième le diamètre primitif calculé. À partir de ce diamètre, plusieurs autres grandeurs se déclinent directement : périmètre primitif, diamètre de base, diamètres de tête et de pied. Pour un engrenage interne, il suffit d’adapter les formules de tête et de pied en inversant les signes (diamètre de tête interne inférieur au diamètre primitif, diamètre de pied interne supérieur).

Pour des engrenages internes et externes partageant le même module et le même angle de pression, le diamètre de base est identique pour un nombre de dents donné, ce qui garantit que la courbe en développante est commune. Cette propriété simplifie le contrôle d’engrènement dans Excel : il suffit de vérifier les jeux radiaux entre les diamètres de tête et de pied pour garantir que la rotation s’effectuera sans interférence ni grippage.

Formules excel pour le calcul de l’entraxe et du rapport de réduction d’un train simple

Le calcul de l’entraxe dans Excel se déduit du diamètre primitif de chaque roue : a = (d₁ + d₂) / 2. En saisissant directement le module et le nombre de dents de chaque engrenage, l’entraxe peut aussi être écrit sous la forme a = m × (z₁ + z₂) / 2. Cette équation est particulièrement utile pour adapter un engrenage à un châssis imposé : l’utilisateur peut faire varier z₁ et z₂ jusqu’à obtenir la valeur d’entraxe souhaitée, le tout contrôlé par la validation de données pour respecter les modules et nombres de dents minimaux.

Le rapport de réduction s’exprime naturellement par i = z₂ / z₁. Dans Excel, la cellule du rapport peut être utilisée comme paramètre d’entrée cible dans l’outil Solver, afin de trouver automatiquement une paire (z₁, z₂) compatible avec une contrainte d’entraxe. Cette capacité d’optimisation automatique fait d’Excel un outil réellement pertinent pour dimensionner des trains d’engrenages, au-delà de simples calculs isolés.

Dimensionnement des hauteurs de dent (addendum, dédentement, jeu radial) dans excel

Les hauteurs de dent jouent un rôle essentiel dans la qualité de l’engrènement et la durée de vie des engrenages. Dans un calcul standard, l’addendum vaut ha = m, le dédentement hf = 1,25·m et la hauteur totale h = ha + hf = 2,25·m. Ces valeurs se traduisent directement par des cellules Excel : une cellule pour le module, trois cellules pour les hauteurs de dent et trois autres pour les diamètres de tête et de pied.

Le jeu radial résulte de la différence entre le diamètre de pied d’un engrenage et le diamètre de tête de son partenaire. Par exemple, un dégagement de rayon de 0,25 mm entre la pointe de la dent externe et le fond de la dent interne est souvent recherché pour assurer un fonctionnement fluide. Excel peut calculer automatiquement ce jeu et le comparer à une valeur minimale, en mettant en évidence en rouge les configurations où ce critère n’est pas respecté.

Calcul des vitesses de rotation et du couple transmis pour un motoréducteur

Une fois les rapports de réduction déterminés, le calcul des vitesses et couples devient direct. La vitesse de sortie d’un train simple est donnée par n₂ = n₁ / i, où i est le rapport de réduction. Avec plusieurs étages, la vitesse finale se calcule comme n_sortie = n_moteur / (i₁ × i₂ × …). Dans Excel, chaque étage peut être représenté par une ligne : le produit des rapports fournit immédiatement la vitesse finale, ce qui est particulièrement utile pour un motoréducteur multi-étages.

Le couple transmis suit la relation inverse : C₂ = C₁ × i × η, avec η le rendement de l’étage. Des essais industriels indiquent qu’un rapport de réduction élevé (> 50) réparti sur plusieurs étages améliore globalement le rendement par rapport à un seul étage très chargé. En intégrant pour chaque étage un rendement typique (par exemple 0,97 pour des dentures droites bien lubrifiées), Excel peut fournir une estimation crédible du couple disponible à la sortie et vérifier qu’il reste dans les capacités des dents selon les normes de dimensionnement.

Utilisation de RECHERCHEV, INDEX/EQUIV pour sélectionner des engrenages catalogues (SKF, misumi)

Pour rapprocher le calcul d’engrenage sous Excel de la réalité industrielle, l’intégration de catalogues de pignons standard est très efficace. Une feuille peut contenir la liste des engrenages disponibles chez un fournisseur donné : module, nombre de dents, largeur, matière, référence commerciale. Les fonctions RECHERCHEV ou INDEX/EQUIV permettent alors de sélectionner automatiquement la référence d’engrenage la plus proche d’un besoin théorique de module et de nombre de dents.

Cette approche réduit drastiquement le temps passé à feuilleter des catalogues PDF ou en ligne. L’utilisateur saisit le module souhaité, un nombre de dents minimal et, éventuellement, un diamètre extérieur maximal ; Excel renvoie la référence du pignon qui répond au mieux à ces contraintes. Pour un concepteur, cette liaison directe entre calcul et pièces réelles évite les incohérences entre modèle numérique et composants effectivement disponibles sur le marché.

Modéliser des trains d’engrenages complexes dans excel (trains épicycloïdaux, étagés)

Construction d’un modèle de train d’engrenages simple (pignon / roue) avec liaisons automatiques

Le premier niveau de modélisation de train d’engrenages dans Excel consiste à représenter un engrènement simple pignon/roue, mais en automatisant toutes les liaisons numériques. Une ligne peut être dédiée au pignon, une à la roue, et une troisième aux paramètres de liaison : entraxe, rapport, jeu radial, vitesse d’entrée, vitesse de sortie. Un changement sur n’importe quelle cellule d’entrée (module, nombre de dents, vitesse moteur) met alors à jour instantanément tout le reste.

Pour un bureau d’études qui gère plusieurs variantes d’un même réducteur, cette structure permet de dupliquer la feuille pour chaque variante, tout en conservant exactement les mêmes formules. Les erreurs humaines se réduisent et la comparaison entre solutions devient objective : diamètre maximum, rendement global, efforts sur les paliers et masse totale de la transmission.

Tableur excel pour train épicycloïdal type “planétaire” (pignon solaire, porte-satellite, couronne)

Les trains épicycloïdaux, très présents dans les motoréducteurs compacts, se prêtent bien à un modèle Excel structuré. Trois engrenages principaux interviennent : le pignon solaire, le ou les satellites montés sur un porte-satellite, et la couronne interne. Les relations entre nombres de dents conditionnent à la fois le rapport de réduction et la faisabilité géométrique (fermeture des entraxes). Un simple exemple : pour un engrenage interne, l’entraxe entre le soleil et la couronne dépend de la somme de leurs diamètres primitifs.

Excel peut intégrer différentes configurations cinématiques (couronne fixe, soleil moteur, porte-satellite sortie ; soleil fixe, couronne moteur, etc.) et calculer le rapport de réduction associé à chaque cas. Ce type de modèle aide beaucoup à comprendre le comportement d’un train planétaire sans recourir immédiatement à un logiciel de simulation avancé. Pour un concepteur, disposer de cet outil évite aussi de retomber sur des combinaisons de dents impossibles à fermer géométriquement.

Calcul d’un réducteur multi-étages dans excel avec rapport global et rendement mécanique

Un réducteur multi-étages peut être modélisé comme une succession de trains simples ou planétaires. Chaque étage possède son rapport iₖ et son rendement ηₖ. Excel peut calculer le rapport global par le produit I = ∏ iₖ et le rendement global par η_global = ∏ ηₖ. Cette modélisation permet d’identifier l’étage le plus pénalisant en termes de pertes mécaniques et éventuellement d’ajuster son type de denture ou sa lubrification.

Les réducteurs de robots collaboratifs actuels affichent souvent des rendements globaux supérieurs à 90 %, malgré des rapports totaux dépassant 100:1. En s’appuyant sur un tableur bien conçu, il devient possible de viser des performances similaires pour un projet de machine spéciale, en ajustant finement les rapports intermédiaires et le choix des dentures (droites, hélicoïdales, coniques ou planétaires).

Simulation de chaînes cinématiques d’axes de machines-outils CNC sous excel

Excel sert également de simulateur de chaîne cinématique pour les axes de machines-outils CNC. Une colonne peut représenter la chaîne complète : moteur pas à pas ou servo, réducteur par courroie crantée, pignon et crémaillère, vis à billes ou vis trapézoïdale. Chaque sous-ensemble possède son rapport de réduction ou son pas, et le tableur calcule le déplacement linéaire par pas moteur : par exemple, une vis M8 au pas de 1,25 mm, combinée à un engrenage 58/38, donne un déplacement de 1,908 mm par tour moteur, soit environ 0,00954 mm/pas pour un moteur 200 pas.

Ce type de calcul d’engrenage sous Excel, appliqué à une CNC, permet de vérifier immédiatement la résolution linéaire, la force de maintien sur chaque axe (X, Y, Z) et la capacité à déplacer la masse de la machine avec une marge suffisante. Des colonnes supplémentaires peuvent estimer les forces résultantes en tenant compte du rayon de la poulie ou du pignon, et du couple nominal de maintien du moteur. Pour un axe X de machine de découpe, par exemple, une force disponible équivalente à la moitié de la masse embarquée offre déjà une bonne marge de fonctionnement.

Automatiser le calcul d’engrenage avec excel : solver, VBA et fonctions avancées

Optimisation du nombre de dents avec l’outil solver pour atteindre un rapport de réduction cible

L’outil Solver d’Excel transforme un simple tableur en véritable outil d’optimisation pour le calcul d’engrenage. En définissant comme cellule cible le rapport de réduction, et comme variables le nombre de dents des pignons, Solver peut rechercher automatiquement la combinaison d’engrenages donnant un rapport le plus proche possible d’une valeur souhaitée, tout en respectant des contraintes sur l’entraxe ou le diamètre maximal. Cette approche est particulièrement efficace pour définir des rapports atypiques, par exemple pour un robot ou une machine spéciale.

Des contraintes entières peuvent imposer que z₁ et z₂ restent des nombres entiers, et que les modules proviennent uniquement d’une liste normalisée. En quelques secondes, Solver explore un grand nombre de combinaisons que vous n’auriez pas testées manuellement. Pour un bureau d’études, cette automatisation apporte un gain significatif de productivité et favorise l’émergence de solutions de transmission plus performantes.

Macros VBA pour générer automatiquement des tableaux de combinaisons d’engrenages standards

Pour aller plus loin dans l’automatisation, des macros VBA peuvent générer automatiquement des tableaux complets de combinaisons d’engrenages. Une boucle peut parcourir toutes les valeurs de z₁ et z₂ dans une plage donnée, calculer le rapport i = z₂ / z₁, l’entraxe associé, et filtrer les résultats en fonction de critères de faisabilité. Le résultat est une matrice de combinaisons d’engrenages triées par rapport de réduction croissant ou par entraxe croissant.

Ce type de macro est particulièrement utile pour les trains étagés ou pour les boîtes de vitesses manuelles, où des rapports échelonnés et réguliers sont recherchés. Au lieu de concevoir chaque rapport individuellement, vous disposez d’un « catalogue numérique » de toutes les paires de pignons possibles dans une plage de dents raisonnable, avec pour chacune une estimation rapide des performances cinématiques.

Création de fonctions personnalisées (UDF) en VBA pour les formules d’engrenages récurrentes

Les fonctions personnalisées (UDF) en VBA permettent d’encapsuler les formules d’engrenage récurrentes dans des fonctions Excel lisibles. Une fonction comme =DiametrePrimitif(m; z) peut renvoyer directement le diamètre primitif, tandis qu’une autre, =Entaxe(m; z1; z2), retourne l’entraxe de deux engrenages. Cette approche clarifie énormément les feuilles de calcul complexes, en remplaçant les longues formules par des noms explicites.

Des fonctions plus avancées peuvent calculer les coordonnées d’une développante de cercle pour un pas de paramètre donné, ou vérifier les conditions d’interférence en développante et en trochoïde pour les engrenages internes. Un ensemble cohérent d’UDF transforme littéralement Excel en bibliothèque de fonctions d’engrenages, à mi-chemin entre un manuel de calcul et un logiciel dédié.

Intégration de courbes de rendement, efforts tangentiel et radial à l’aide des graphiques excel

Les graphiques Excel offrent une visualisation précieuse des performances d’un engrenage ou d’un train de pignons. Des courbes peuvent représenter l’évolution du rendement en fonction du rapport de réduction ou de la vitesse de rotation, sur la base de données expérimentales ou de modèles théoriques. D’autres graphiques peuvent montrer la répartition des efforts tangentiel, radial et axial en fonction de la charge transmise et de l’angle de pression.

Pour un engrenage hélicoïdal, par exemple, une courbe montrant la croissance de l’effort axial avec l’angle d’hélice aide à choisir un compromis entre douceur de fonctionnement et charge sur les roulements. En combinant ces graphiques avec des scénarios de charge (découpe, fraisage, déplacement rapide), Excel devient un outil d’analyse de sensibilité, indispensable pour sécuriser un projet de transmission mécanique.

Exemples pratiques de calcul d’engrenage avec excel : motoréducteur, vélo, robotique

Un premier exemple concret concerne le dimensionnement d’un motoréducteur pour une petite machine de découpe CNC. En partant d’un moteur pas à pas 200 pas/tour, d’un couple nominal de maintien de 6,2 kg·cm (soit environ 0,61 N·m) et d’une poulie crantée de 14 dents au pas de 5 mm, Excel peut calculer un déplacement linéaire d’environ 9,33 mm par tour moteur dans une configuration donnée, puis le convertir en résolution par pas et demi-pas. L’ajout d’un étage de réduction par engrenage (par exemple 90/12) augmente le couple disponible à la poulie, tout en réduisant la vitesse.

Un second exemple concerne un vélo, où le calcul d’engrenage s’applique aux plateaux et aux pignons de cassette. Le rapport de développement se calcule en divisant le nombre de dents du plateau par celui du pignon et en le multipliant par le diamètre de la roue. Excel permet de comparer différentes combinaisons, d’optimiser les étagements pour une pratique route ou VTT, et d’anticiper la cadence de pédalage à une vitesse donnée. Un tableau de rapports et un graphique de développement donnent une vision claire des capacités du vélo dans toutes les configurations.

Un troisième exemple typique concerne la robotique mobile ou les bras articulés. Pour un robot à roues motorisées, le calcul d’engrenage avec Excel permet de partir de la vitesse de rotation maximale du moteur, de définir un rapport de réduction pour atteindre une vitesse linéaire cible, puis de vérifier que le couple disponible au pneu est suffisant pour gravir une pente donnée. Dans un bras robotisé, les engrenages peuvent être placés au plus près des articulations pour réduire les masses en mouvement ; Excel aide à équilibrer rapports de réduction, couples nécessaires et limites de couple des servomoteurs, tout en respectant les modules normalisés et les contraintes d’encombrement dans chaque articulation.